Это устойчивое сочетание слов, наречное выражение отвечает на вопросы наречий и используется как обстоятельство в предложениях. Фразеологизм имеет значение ни при каких обстоятельствах, ни за что. В этой фразе усилено отрицание, поэтому ее используют в крайних случаях.
Правильное написание
Согласно правилам русского языка, есть только один способ писать рассматриваемый фразеологизм правильно:
НИ_В_КОЕМ_СЛУЧАЕ
Неверное написание
не в коем случае выражение написано с частицей не, нивкоем случае часть фразу написана слитно, ни в коим случае в слове коем безударная гласная и, ни в коем случаи на конце безударная гласная и.
Почему пишется именно так
Категоричность выражения появляется за счет частицы ни. Значение фразеологизма теряется, если заменить ее на не. Слитное написание слов в выражении ни в коем случае недопустимо, потому что каждое слово относится к отдельной части речи: ни частица, в предлог, коем устаревшее местоимение в форме предложного падежа, случае существительное.