Это слово неизменяемое наречие. Употребляется в значении не совпадая с другими в каком-либо отношении, разно, неодинаково.
Правильное написание
В соответствии с правилами орфографии русского языка есть два правильных варианта написания:
ПО-РАЗНОМУ
наречие,
ПО РАЗНОМУ
предлог с прилагательным.
Неверное написание
по разному, если в предложении употреблено наречие, по-разному, если в предложении употреблены предлог и прилагательное.
Почему пишется именно так
Если в контексте предложения используется наречие по-прежнему, оно должно быть написано через дефис. Для доказательства нужно разобрать слово по составу: по приставка, разн корень, ому суффикс. По правилу русского языка, наречия, образованные от прилагательных при помощи приставки по- и суффиксов -ому, -ему, -и пишутся через дефис. Определить, что по-разному в предложении употреблено как наречие, можно, задав к нему вопрос как? (при каждой встрече она выглядела как? по-разному). Если в предложении употреблен предлог с прилагательным, то после прилагательного расположено зависимое существительное в дательном падеже, отвечающее на вопрос чему?. При этом само прилагательное легко можно опустить без значительной потери смысла: он взял по разному мороженому для каждого он взял по чему? по мороженому для каждого. По правилу русского языка, предлоги и прилагательные пишутся раздельно.