Наречие места, образованное путем слияния приставки по- с первоначальным наречием всюду. Рассматриваемое слово вместе с исходным отвечает на вопрос где?. Означает повсеместно, на очень большой (всей) территории. Приставка по- выполняет легкое усиление признака.
Правильное написание
Слово пишется слитно.
ПОВСЮДУ
Неверное написание
по всюду случай, в котором приставку по- посчитали предлогом и отделили от наречия, по-всюду написание через дефис.
Почему пишется именно так
Сложные наречия, образованные от другого наречия путем присоединения к нему приставки, всегда пишутся слитно. Вновь образованная часть речи с приставкой по- имеет незначительное отличие по интенсивности признака от исходного всюду. Оба наречия в обиходе взаимозаменяемы и выступают синонимами.