В предложении может выступать наречием. В данном случае часть речи отвечает на вопрос: как?. Используется в речи в значении настороже, наготове. Также может использоваться в речи в качестве предикатива. Означает готовность выполнять что-либо.
Правильное написание
Слово в значении наречия и предикатива пишется слитно.
НАЧЕКУ
Неверное написание
на чеку в случае употребления в речи в качестве наречия и предикатива. Раздельное написание возможно только при использовании предлога на и существительного чека в винительном падеже. Например: испуганно смотреть на чеку гранаты.
Почему пишется именно так
Наречие образовано слиянием предлога на и существительного чек, вышедшего из обихода в значении стража, охрана. Согласно правилу образования наречий, образованных от предлога и существительного написание всегда слитное.