Это словосочетание, состоящее из предлога и существительного в форме дательного падежа. В разговорной речи используется часто, но при его написании могут возникать сложности.
Правильное написание
Согласно орфографическим нормам словосочетание пишется следующим образом:
ПО ЖЕЛАНИЮ
Неверное написание
по-желанию, где словосочетание пишется через дефис.
Почему пишется именно так
Словосочетание состоит из предлога по и существительного желанию, и пишется раздельно. Это объясняется тем, что по правилу существительные с предлогами всегда пишутся раздельно. Чтобы убедиться в правильности своего решения, попробуем вставить между предлогом и существительным любое определение: по своему желанию, по огромному желанию. Если определение вставить получается, то словосочетание всегда будет писаться раздельно.