Это причастие совершенного вида в форме прошедшего времени. Употребляется в значении нанесший, причинивший обиду кому-нибудь.
Правильное написание
Согласно правилам современного русского языка слово пишется следующим образом:
ОБИДЕВШИЙ
Неверное написание
абидевший, когда в первом слоге пишут букву а, обидивший, когда после д пишут букву е.
Почему пишется именно так
Установить правильное написание слова нам поможет проведение морфемного разбора: обид ‒ корень, ев ‒ суффикс, ш ‒ суффикс, ий ‒ окончание. Подберем однокоренные слова, чтобы поставить первую гласную в слове в ударную позицию: обида, обидеться, обижаться. Сделать это не получается, поэтому написание буквы о в данном слове запоминаем. Если глагол в неопределенной форме, от которого образовано причастие, заканчивается на -еть, то в суффиксе причастия пишется е. Образовано от слова обидеть, значит, пишется е.