Слово может быть как наречием, так и прилагательным с предлогом. Употребляется в значении так, как принято дома, как бывает только дома, непринужденная атмосфера, уютно.
Правильное написание
Слово имеет два правильных варианта написания:
ПО-ДОМАШНЕМУПО ДОМАШНЕМУ
Неверное написание
Написание будет зависеть от контекста в предложении.
Почему пишется именно так
Слово пишется с дефисом, если наречие было образовано при помощи приставки по- и суффиксов -ому, -ему, -и. Как можно заметить, слово было образовано от прилагательного домашний с использованием префикса по- и суффикса -ему. Раздельное написание применяется только тогда, когда в предложении рассматриваемое слово используется в качестве прилагательного с предлогом. В свою очередь, после прилагательного с предлогом должно быть существительное в дательном падеже, к которому относится это сочетание. Пример: По домашнему телефону неудобно разговаривать, возьми мобильный. Слово телефону представляет собой существительное в дательном падеже, которое отвечает на вопрос чему?. Если в тексте используется подобная форма, значит, будет писаться прилагательное с предлогом.