Это слово в зависимости от контекста относится к разным частям речи. Если оно отвечает на вопрос каков?, то это сравнительное прилагательное, образованное от слова мягкий: диван был каков? помягче кресла. Если же слово в контексте предложения отвечает на вопрос как?, то это наречие, образованное от слова мягко: говори с ним как? помягче.
Правильное написание
В соответствии с орфографическими правилами русского языка слово пишется так:
ПОМЯГЧЕ
Неверное написание
по мягче, где приставка пишется отдельно, помяхче, помякче, где вместо согласной г пишется х или к. помягше, помякше, где вместо согласной ч пишется ш.
Почему пишется именно так
В помягче по- является приставкой и пишется слитно, независимо от того, какой частью речи является слово. Согласно правилу, наречия, образованные от других наречий с помощью приставки, пишутся слитно. Помягче соответствует этим условиям. Не нужно считать, что по- является предлогом. Между предлогом и словом всегда можно вставить определение: по пути по длинному пути. Здесь это невозможно, поэтому по- является приставкой и пишется слитно. Чтобы проверить написание буквы Г, нужно изменить слово так, чтобы после нее стояла гласная: мягок, мягенький. В этих словах г слышится четко, а значит, в них и в слове мягче тоже г. По аналогии можно проверить написание буквы ч: мягчайший. В слове слышится ч, поэтому и писать нужно эту согласную.