Это слово неизменяемое наречие, обстоятельственное, совокупности. Означает отдельно друг от друга, по одному.
Правильное написание
В соответствии с правилами орфографии русского языка слово пишется так:
ПООДИНОЧКЕ
Неверное написание
по одиночке, где приставка написана отдельно от слова. поадиночке, где в корне пишется гласная а, пооденочке, где в корне пишется гласная е, поодиночьке, где между согласными ч и к пишется ь.
Почему пишется именно так
Поодиночке образовано от существительного одиночка при помощи приставки по-. Приставка всегда пишется слитно со словом. Если бы по- являлась предлогом, то между ней и словом можно было бы вставить слово. Сделать это невозможно. Чтобы проверить написание безударных гласных в корне, нужно изменить слово или подобрать однокоренное так, чтобы они находились под ударением: один. Под ударением слышится и, поэтому и писать нужно эту гласную. Проверить аналогичным образом гласную о нельзя. Слово поодиночке образовано от слова один, являющегося словарным, поэтому нужно запомнить его и писать в корне гласную о. Чтобы проверить, нужен ли в слове ь, следует вспомнить правило: в сочетаниях чк, чн, щн мягкий знак не пишется, потому что звуки ч и щ всегда мягкие. Таким образом. Слово поодиночке пишется без ь.