Исходное слово неодушевлённое существительное мужского рода 2-го склонения шёпот. В предложении в падежной форме может выступать наречием и отвечать на вопрос: как?. Применяется в значении: очень тихо говорить, без использования голосовых связок.
Правильное написание
Слово следует писать с буквой ё в корне:
ШЁПОТОМ
Неверное написание
шопотом с буквой о в корне слова.
Почему пишется именно так
Обратимся к правилу. В словах после шипящих под ударением пишется гласный ё, при условии существования однокоренных и родственных слов с ударным гласным е в корне слова. Однокоренное слово, в качестве проверочного: ше́пчет, ше́пчется. В приведённых словах буква е под ударением, значит слово шёпот пишется через ё.